par L’implication fait partie des techniques avancées. Elle fonctionne avec des booléens et demande la mise en place d’hypothèses. Elle produit une simplification du nombre de booléens. C’est une instruction extrêmement puissante et elle est beaucoup utilisée dans les énigmes marquées « souvent difficiles ».
L’implication n’est pas aisée à comprendre. Pour aider, on peut la traduire par la formule « si… alors ».
S’il pleut, il y a des nuages.
Cette phrase est parfaite pour comprendre – l’avoir à l’esprit permet d’éviter bien des erreurs.
Actilud traite le cas suivant :
Si a ⇒ b et b ⇒ a, alors a⇔b et on peut remplacer l’un par l’autre.
Pour effectuer une implication, on choisit un booléen a et on observe ce qu’il se passe lorsqu’on le met à vrai. Si on trouve un booléen b qui devient vrai à la suite de a, on remet a à son état initial et on observe ce qu’il se passe lorsqu’on met b à vrai. Si a devient vrai à son tour, nous avons démontré l’équivalence et on peut remplacer l’un par l’autre. Sur le site on peut mémoriser une configuration, cela permet d’effectuer des hypothèses et de revenir en arrière. Il est conseillé de commencer par les booléens les plus fréquents.
Mais soyez prudent !
Une erreur commune consiste à croire que, si a ⇒ b et ¬a ⇒ ¬b, alors a⇔b. C’est faux ! Aussi faux que de dire « s’il ne pleut pas, alors il n’y a pas de nuage ». Appliqué aux booléens, cela se traduit ainsi: si a vrai => b vrai et si a faux => b faux, on n’a pas le droit de conclure que a ⇔ b et on ne doit pas les remplacer l’un par l’autre, même si pourtant on en a très envie, car les comportements des deux booléens semblent s’accorder.
Remarque : le symbole ¬ est la négation: b ⇒ ¬a signifie b implique « non a »; si b est vrai, alors « ¬a » est vrai, donc a est faux.
La table de vérité de l’implication est la suivante; elle n’est pas intuitive. L’implication a ⇒ b est fausse dans un seul cas, lorsque a est vrai et b est faux. Cela signifie qu’une prémisse vraie ne doit pas impliquer une conclusion fausse; mais, si la prémisse est fausse, peu importe la conclusion: l’implication est toujours vraie.
| a | b | a ⇒ b |
|---|---|---|
| Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Vrai |
| Faux | Faux | Vrai |
Analysons l’erreur commune. Lorsque l’on met a à vrai, on sélectionne les deux premières lignes de notre tableau. Puis, on démontre que a ⇒ b est vrai (en mettant a à vrai, on voit que b devient vrai à sont tour); nous voyons dans le tableau que nous devons retenir la première ligne: a vrai, a ⇒ b vrai, donc b est vrai.
Voyons ce qu’il se passe avec ¬a ⇒ ¬b. Lorsqu’on met a à faux, on sélectionne les deux dernières lignes de notre tableau. Puis, lorsqu’on démontre que ¬a ⇒ ¬b (en mettant a à faux on voit que b devient faux à son tour), l’implication est vraie, donc nous sommes toujours sur les deux dernières lignes. Et l’on voit dans ce cas, que l’implication est vraie quel que soit l’état de b, vrai ou faux. Donc nous n’avons rien démontré.
Incohérences
C’est un cas fréquent qui est souvent apprécié par les joueurs, car il permet d’avancer très vite dans la résolution ! Il peut arriver qu’une implication produise une incohérence. Il en existe de plusieurs sortes :
- rangées avec uniquement des cases à faux
- rangées avec plusieurs signes vrai
- booléen ne pouvant prendre aucune valeur : ni vrai, ni faux.
- alternative ne pouvant pas se résoudre
Dans ce cas, il suffit de mettre la valeur inverse dans le booléen : si l’hypothèse a est vrai aboutit à une incohérence, mettre a à faux; inversement, si l’hypothèse a est faux aboutit à une incohérence, mettre a à vrai.
L’incohérence est aux intégrammes ce que le raisonnement par l’absurde est aux mathématiques. Si un raisonnement logique aboutit à une absurdité, on a démontré que les prémisses sont fausses.
Booléen vrai… mais faux
C’est un cas particulier d’incohérence, qui est traité par Actilud :
Si a ⇒b et b ⇒ ¬a alors a = faux
Pour travailler le corollaire, après avoir démontré que a => b, on doit donc démontrer que b => ¬a. En mettant le booléen b à vrai, on découvre que le booléen a finit par devenir faux. Si c’est le cas, on peut remplacer tous les booléens a dans les grilles par des signes faux.
Invariance
Si, quelle que soit la valeur d’un booléen a, un booléen b est toujours vrai ou toujours faux, alors on peut affecter cette valeur au booléen b.
Depuis la mise à jour de février 2025, nous avons intégré dans l’implication ce cas d’invariance spécifique aux booléens, lorsqu’un booléen agit sur un autre booléen. Le cas où une modification de booléen produit des cases vides constantes est toujours traité par l’invariance.
Comment est effectuée l’implication sur Actilud
Pour que les énigmes ne soient pas trop difficiles, le solveur limite ses déductions.
Pour effectuer l’implication, le solveur passe en revue tous les booléens, en commençant par les plus fréquents. Il effectue les hypothèses en faisant une recherche par niveau (voir ci-dessous).
Seules les énigmes marquées souvent difficiles sont susceptibles d’utiliser l’implication ou l’invariance. Dans les énigmes de base (jogging, défilé de mode, char à voile, verger) le solveur ajoute la configuration en carré; il n’y a donc pas systématiquement de l’implication ou de l’invariance. De plus, la difficulté peut ne pas apparaître car elle dépend de l’ordre dans lequel on traite les propositions.
Depuis la mise à jour de février 2025, le solveur privilégie toujours les solutions qui demandent le moins de profondeur d’analyse. Elles sont ainsi -quelquefois- plus compréhensibles et rendent les énigmes plus motivantes. De plus, le solveur tient compte des incohérences. Pour vous aider un peu, le niveau de difficulté de l’implication et de l’invariance est indiqué par le Conseiller, lorsque vous utilisez le solveur en mode « pas à pas » . Le niveau correspond au nombre d’opérations réussies qu’il a fallu faire pour obtenir un résultat. Le niveau 1 est donc le plus facile: l’implication n’a demandé qu’une seule opération. Le niveau 7 est le plus difficile.
Les opérations effectuées sont: intersections, complément, répercussion, fusion; le complément étant exécuté plusieurs fois. L’intersection comprend aussi la cohérence.