Les exemples présentés dans cet article portent sur des barres de trois dominos, qui utilisent des nombres plus grands que 100, ce qui nous permet de comprendre les passages de retenues.

On peut bien sûr utiliser moins de dominos pour travailler les additions. Si S est la somme des termes a et b:

• S <= 10 : deux barres de dominos-unités suffisent (il n’y a pas de retenue donc l’intérêt est surtout de passer du comptage au calcul)
• S<=100 : deux barres de dominos-dizaines+unités suffisent
• S<=1000: prendre trois barres de dominos centaines-dizaines-unités

Nous ne reviendrons pas sur la  technique du passage de la dizaine ou de la centaine avec les dominos. Voyez à ce sujet l’article sur le passage.

L’addition

L’addition est commutative: a + b = b + a = S. Mais cela ne signifie pas qu’il n’y a pas d’ordre dans l’opération. Il y a bien un ordre – nous avons un premier élément a et un second b, mais cet ordre n’a pas d’importance puisque l’opération est commutative.

Mais comme nous avons deux éléments ordonnés, nous mettrons a dans la première barre et b dans la seconde.

À réaliser le calcul suivant : 347 + 264

Nous allons donc poser a dans la barre du haut et b dans la barre du bas :

Pour réaliser le calcul, il suffit à priori de déverser le contenu d’une barre dans une autre et de réarranger les pions pour faire disparaître les éventuelles dizaines. On lira le résultat dans la barre restante.

Mathématiquement c’est tout à fait exact. Mais il y a néanmoins un sens à cette opération d’ajout. Dans les dominos, les deux contenus initiaux, les cardinaux a et b, sont détruits dans l’opération, et la somme S apparaît sur l’une des deux barres, tandis que l’autre est vidée.  Si nous voulions attribuer un type Vergnaud à l’opération, on dira que c’est une opération de transformation. Or, dans une transformation, il y a toujours un sens.

Dans la vie courante, lorsque l’on fait une addition-transformation, c’est le deuxième élément que l’on ajoute au premier. Dans une recette, quand on demande d’ajouter une pincée de sel, vous la versez dans la casserole qui contient déjà le reste de la préparation. Pas l’inverse. Même si l’opération est commutative.

Donc, nous allons vider la deuxième barre dans la première, et non l’inverse, car nous souhaitons garder le sens de l’opération. Le résultat se lira donc dans la barre qui contient pour le moment la valeur a.

 

Interrogeons-nous maintenant sur l’ordre hiérarchique des unités. Disons-le tout de go : avec les dominos il n’y a aucune obligation d’utiliser l’ordre hiérarchique traditionnel, à savoir, d’abord traiter les unités, puis les dizaines, puis les centaines. Essayez. Vous verrez que vous pouvez traiter l’ordre des dominos comme bon vous semble. Vous devez respecter ces deux seules règles: déverser une barre dans l’autre et effectuer les passages des dizaines.

On ne peut pas faire plus simple. Malgré cela, le domino peut devenir une excellente illustration des additions posées. Je suggère de laisser les élèves s’entraîner comme bon leur semble, afin de les laisser se familiariser. Attention, un pion est détruit si on le pose en dehors du domino. Il faut donc bien viser.

Les opérations posées, telles que nous avons l’habitude de les résoudre, sont des techniques conventionnelles. En fait on peut très bien en changer. Vous voulez la preuve ? Voici une opération posée selon une autre technique. Ici, on pourrait commencer à gauche, à droite ou au milieu, l’opération serait toujours la même.

Nous avons indiqué par des flèches les passages de la dizaine. Notez que cette opération n’est pas réalisable avec nos dominos, car 11 ne peut figurer dans le dominos-unités.

Évidemment, l’opération d’addition posée « classique » est enseignée parce qu’elle a un avantage sur les autres techniques : elle prend le moins de place. Avec deux opérandes elle tient sur 4 lignes -il y a une ligne pour les retenues, deux pour les opérandes, et une pour la réponse.

Vers l’addition posée avec le domino

L’opération posée est surtout utile pour des nombres plus grands que 10. Pour le reste, le calcul en ligne et le calcul mental suffisent. L’usage du domino permet surtout d’illustrer la technique opératoire classique avec le passage de la retenue.

Pour commencer donc, soyons explicites et exposons l’objectif à nos élèves: on va apprendre à poser une addition, sur le papier, en s’aidant des dominos.

On va donc écrire l’addition en colonnes, en respectant bien la consigne : mettre un chiffre par case, bien aligner les nombres, laisser une ligne vide au-dessus pour les retenues, et bien sûr une ligne sous le trait, pour le résultat. On introduit le vocabulaire : « retenue », « résultat ».

Une fois les nombres écrits sur notre brouillon, on prépare le domino :

Comme nous voulons apprendre la technique conventionnelle, nous respectons l’ordre hiérarchique unités, dizaines,  centaines. Donc nous procédons de la droite vers la gauche.

On commence donc par déplacer les unités : on va essayer de placer les 4 pions du domino-unité du bas dans le domino-unité du haut, qui en comptient déjà 7.  On peut déplacer les trois premiers pions. Lorsque le domino du haut contient 10 pions, on ne peut plus continuer. Il reste un pion en bas.
S’ils ont déjà un peu d’entraînement, les élèves savent déjà ce qu’il faut faire : le passage ! On transfère donc les 10 pions du domino-unités vers le domino voisin. Puis on déplace le jeton restant de la ligne b vers la ligne a :

Nous reportons l’opération sur le papier en indiquant la dizaine ajoutée dans la ligne des retenues. Nous indiquons le résultat. Cette étape est importante, il faut passer un peu de temps à bien l’expliquer. Attention : le résultat se lit sur la ligne du haut dans le domino, mais il sécrit dans la ligne du bas de notre opération.

On recommence avec les dizaines. Nous voulons ajouter les dizaines du bas à celles du haut. On peut en déplacer 5 seulement; il en reste 1.

Nous effectuons donc un nouveau passage, des dix dizaines vers 1 centaine, puis nous migrons la dizaine du bas vers le haut. Ceci fait, nous notons la correspondance sur notre opération posée. La centaine est ajoutée dans la ligne des retenue. Le nombre de dizaines dans la barre du haut est indiqué dans la deuxième case de la ligne de résultat.

Enfin, il faut encore déplacer les deux centaines restantes, et nous avons la solution :

Il est important de bien différencier la ligne des retenues et la ligne du résultat: sur la ligne des retenues, on indique le nombre de dizaines ou centaines qui sont passés (soit toujours 1 s’il y a deux opérandes) alors que sur la ligne du bas, le résultat reflète le contenu du domino.

Intérêt de la manipulation ?

Tout simplement de montrer que la retenue ne sort pas du chapeau. Elle n’a rien de magique : c’est le résultat du passage, la transformation des unités de la hiérarchie inférieure vers la hiérarchie supérieure.

Entraînement

On peut s’entraîner en trois étapes :

1. initiation: travail simultané sur le papier et le domino, comme nous venos de le montrer
2. entraînement : réaliser d’abord l’opération sur le papier, en effectuant les calculs, puis vérifier à l’aide des dominos
3. perfectionnement : se passer des dominos

Enfin, on abordera les additions posées avec plus de deux opérandes, et ceci nécessairement sans les dominos.