{"id":244,"date":"2023-08-14T13:35:31","date_gmt":"2023-08-14T11:35:31","guid":{"rendered":"https:\/\/actilud.com\/info\/?p=244"},"modified":"2025-04-05T10:02:26","modified_gmt":"2025-04-05T08:02:26","slug":"le-schema-en-barres-multiplicatif","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/actilud.com\/info\/blog\/le-schema-en-barres-multiplicatif\/","title":{"rendered":"Le sch\u00e9ma en barre multiplicatif"},"content":{"rendered":"

Cet article concerne uniquement le sch\u00e9ma en barre multiplicatif \u00ab\u00a0classique\u00a0\u00bb. Depuis juillet 2024 les probl\u00e8mes de multiplication s’enrichissent d’un nouveau mod\u00e8le, le sch\u00e9ma cart\u00e9sien, qui est trait\u00e9 dans un autre article<\/a>.<\/p>\n

Le sch\u00e9ma en barre multiplicatif permet de mod\u00e9liser des probl\u00e8mes de multiplication et de division. Sur Actilud, vous trouverez une panoplie d\u2019exercices faisant intervenir diff\u00e9rents types de probl\u00e8mes multiplicatifs. Mais avant de d\u00e9marrer la r\u00e9solution de ces probl\u00e8mes, une petite initiation \u00e0 la \u00ab machine \u00bb multiplicative semble n\u00e9cessaire.<\/p>\n

Une d\u00e9marche possible est de reprendre celle abord\u00e9e dans mon article sur la sch\u00e9matisation des probl\u00e8mes additifs. N\u2019oublions pas que le mod\u00e8le, sur le site, n\u2019est pas une entit\u00e9 abstraite mais bien une \u00ab machine virtuelle \u00bb que l\u2019on peut manipuler ais\u00e9ment.<\/p>\n

L\u2019id\u00e9al, dans un premier temps, est donc de pr\u00e9senter l\u2019outil aux \u00e9l\u00e8ves avec des indications minimales:<\/p>\n

C\u2019est \u00ab une machine \u00e0 r\u00e9soudre les probl\u00e8mes \u00bb. Trouvez comment elle marche.<\/p>\n

Pourquoi peut-on dire que c\u2019est une machine \u00e0 r\u00e9soudre les probl\u00e8mes ?<\/p>\n

Quelles sortes de probl\u00e8mes peut-elle r\u00e9soudre ?<\/p><\/blockquote>\n

A disposition des \u00e9l\u00e8ves, dans l\u2019id\u00e9al : un tableau interactif type TBI, des tablettes ou ordinateurs \u00e0 disposition pour leur activit\u00e9 de recherche sur le site.<\/p>\n

Voyons dans les d\u00e9tails comment la machine fonctionne.<\/p>\n

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Probl\u00e8mes de base, Initiation au mod\u00e8le multiplicatif<\/figcaption><\/figure>\n

Param\u00e9trage<\/h1>\n

Dans le menu \u00ab\u00a0Jeu\u00a0\u00bb il y a 3 entr\u00e9es. La premi\u00e8re, \u00ab\u00a0Mode d\u2019emploi\u00a0\u00bb<\/em>, est une pr\u00e9sentation anim\u00e9e du fonctionnement de la machine \u2013 ce que nous allons aborder ici avec quelques indications p\u00e9dagogiques en plus.<\/p>\n

La seconde entr\u00e9e, \u00ab\u00a0entra\u00eenement \u2013 probl\u00e8mes\u00a0\u00bb<\/em>, permet de se familiariser avec quelques probl\u00e8mes simples, sachant qu\u2019un panel bien plus complet de probl\u00e8mes se trouve dans l\u2019exercice H2 : multiplication, division avec sch\u00e9ma. <\/em><\/p>\n

La troisi\u00e8me entr\u00e9e, \u00ab\u00a0utilisation libre<\/em>\u00a0\u00bb nous int\u00e9resse ici, car c\u2019est elle qui permet la d\u00e9couverte de la machine dans un premier temps, et ensuite, qui permet le travail sur des probl\u00e8mes tiers propos\u00e9s par l\u2019enseignant.<\/p>\n

L\u2019entr\u00e9e \u00ab niveau de difficult\u00e9 \u00bb, dont le contenu varie selon le jeu choisi, propose deux possibilit\u00e9s, \u00ab produit jusqu\u2019\u00e0 100 \u00bb et\u00a0 \u00ab produit jusqu\u2019\u00e0 1000 \u00bb. Ces entr\u00e9es permettent donc de jauger la difficult\u00e9 des calculs et d\u00e9finissent les limites de la machine. A l\u2019enseignant de d\u00e9terminer le niveau de difficult\u00e9.<\/p>\n

Premi\u00e8re \u00e9tape: d\u00e9couverte<\/h1>\n

Dans notre exemple nous allons utiliser la configuration 3, 2 Vous pouvez utiliser 3,1 pour limiter le produit \u00e0 la premi\u00e8re centaine.<\/p>\n

\"\"
\nVoil\u00e0 ce qu\u2019on obtient sur le site: la machine est dans son \u00e9tat initial, qui correspond \u00e0 l\u2019op\u00e9ration : 1\u00d71=1 ou 1:1=1 :<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dans le cadre d\u2019une multiplication, la barre du haut est le produit, celle du milieu est le multiplicande et celle du bas le multiplicateur.
\nPour une division, la barre du haut est le dividende, la barre du milieu est le quotient entier et celle du bas, le diviseur.
\nBien s\u00fbr, ces termes techniques sont \u00e0 destination de l\u2019enseignant, pas des \u00e9l\u00e8ves, du moins dans un premier temps !<\/p>\n

Il y a deux fa\u00e7ons d\u2019utiliser le sch\u00e9ma multiplicatif. C\u2019est le r\u00f4le de la fl\u00e8che rouge, nous reviendrons l\u00e0-dessus plus tard. Pour modifier la valeur num\u00e9rique dans une barre, il faut cliquer sur les fl\u00e8ches aux extr\u00e9mit\u00e9s ou sur la fl\u00e8che de d\u00e9placement, sous la barre. Voyons ce que cela pourrait donner :<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Pour obtenir ce r\u00e9sultat, utilisez d’abord les fl\u00e8ches multiplicande, quotient<\/em> jusqu’\u00e0 la valeur 68 : la fl\u00e8che du bas permet de se d\u00e9placer rapidement dans la barre; les deux fl\u00e8ches lat\u00e9rales permettent d’ajuster la posiion \u00e0 l’unit\u00e9 pr\u00e8s. Faites de m\u00eame avec la barre multiplicateur, diviseur.<\/em><\/p>\n

Nous avons donc l\u2019op\u00e9ration :<\/p>\n

272 = 68 x 4 ou 68 = 272 : 4 ou 4 = 272 : 68 (nous utilisons l\u2019\u00e9criture \u00ab : \u00bb courante \u00e0 l’\u00e9cole primaire pour signifier la division enti\u00e8re en ligne).<\/p>\n

Probl\u00e9matiser sans attendre<\/h1>\n

Pour nommer les barres, les termes techniques sont compliqu\u00e9s et risquent de freiner l\u2019acquisition de la compr\u00e9hension du mod\u00e8le. Mieux vaut utiliser une analogie; on peut partir d\u2019un exemple de r\u00e9partition d\u2019objets en paquets d\u2019unit\u00e9s \u2013 prendre des billes pour un cas concret :<\/p>\n

La barre de produit ou du dividende pourrait devenir la barre des unit\u00e9s (nombre de billes).
\n<\/em> Le multiplicande ou quotient devient la taille des paquets<\/em> ou la taille des parts<\/em>
\nLe multiplicateur ou diviseur devient le nombre de paquets<\/em> ou le nombre de parts <\/em><\/p><\/blockquote>\n

\"\"<\/p>\n

\u00c0 partir d\u2019une situation num\u00e9rique donn\u00e9e, on peut demander aux \u00e9l\u00e8ves d\u2019inventer des situations o\u00f9 l\u2019on pourrait rencontrer ces nombres. On peut commencer, bien s\u00fbr, par les situations de multiplication et ne traiter qu\u2019elles. Mais, gr\u00e2ce \u00e0 ce mod\u00e8le, on arrive assez rapidement \u00e0 inventer des probl\u00e8mes simples faisant appel \u00e0 la multiplication ou \u00e0 la division, \u00e0 partir d\u2019une seule repr\u00e9sentation :<\/p>\n

(a) J\u2019ai 4 paquets de 68 billes. Combien ai-je de billes en tout ?<\/p>\n

(b) Alice a 272 billes. Elle les r\u00e9partit en 4 paquets \u00e9gaux. Combien de billes y a-t-il dans un paquet ?<\/p>\n

(c) Alice r\u00e9partit ses 272 billes en paquets de 68 billes. Combien de paquets fait-elle ?<\/p><\/blockquote>\n

Dans le cas (a) la r\u00e9ponse se lit donc sur la barre \u00ab\u00a0nombre d\u2019unit\u00e9s\u00a0\u00bb. La r\u00e9ponse du cas (b) se lit sur la barre \u00ab\u00a0taille des paquets\u00a0\u00bb. Enfin la r\u00e9ponse du cas (c) se lit sur la barre \u00ab\u00a0nombre de paquets\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Le point d\u2019interrogation pour indiquer o\u00f9 se trouve la r\u00e9ponse<\/h2>\n

Servez-vous de l\u2019\u00e9tiquette \u00ab point d\u2019interrogation \u00bb pour indiquer o\u00f9 se trouve la barre de la r\u00e9ponse. Lorsque vous placez l\u2019\u00e9tiquette sur une barre, l\u2019affichage num\u00e9rique dispara\u00eet. \"\"<\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Dans le dernier cas, lorsqu\u2019on place le point d\u2019interrogation sur la barre du multiplicateur\/diviseur, il y a une r\u00e9percussion sur l\u2019affichage de la barre du milieu, avec l\u2019apparition de trois points \u00ab\u00a0\u2026\u00a0\u00bb (lorsque c\u2019est possible) pour \u00e9viter que les \u00e9l\u00e8ves se contentent de compter les cases !<\/p>\n

L\u2019utilisation du point d\u2019interrogation permet, dans un premier temps, de v\u00e9rifier que l\u2019\u00e9l\u00e8ve a bien compris le fonctionnement de la barre et qu\u2019il va chercher la r\u00e9ponse au bon endroit.<\/p>\n

Dans un second temps, en proposant des probl\u00e8mes avec le point d\u2019interrogation d\u00e9j\u00e0 positionn\u00e9 sur une barre, les \u00e9l\u00e8ves devront trouver les calculs \u00e0 effectuer ainsi que la r\u00e9ponse, qui sera valid\u00e9e en retirant le point d\u2019interrogation.<\/p>\n

Des probl\u00e8mes \u00e0 foison<\/h1>\n

Un exercice tr\u00e8s stimulant pour les \u00e9l\u00e8ves consiste \u00e0 leur laisser la machine telle que nous l\u2019avons param\u00e9tr\u00e9e, de leur soumettre un probl\u00e8me, et de leur demander de le mod\u00e9liser. Bien s\u00fbr, ils doivent aussi indiquer la barre sur laquelle on va lire la r\u00e9ponse, en positionnant le point d\u2019interrogation.<\/p>\n

Dans une s\u00e9ance il y a donc une phase de recherche individuelle (ou en petit groupe mais attention : il faut veiller \u00e0 ce que chaque \u00e9l\u00e8ve manipule) et une phase de restitution ou l\u2019on discute des solutions propos\u00e9es.<\/p>\n

Il est conseill\u00e9 de traiter plusieurs probl\u00e8mes sur une s\u00e9ance; ne pas s\u2019appesantir sur un seul \u00e9nonc\u00e9. Bien entendu cette d\u00e9marche a plus de sens si on alterne des probl\u00e8mes n\u00e9cessitant une multiplication et ceux avec divisions !<\/p>\n

Attention toutefois \u00e0 certains types d\u2019\u00e9nonc\u00e9s. Ceux qui font intervenir des configurations rectangulaires (type calcul de la surface du rectangle) ou des produits cart\u00e9siens (nombre de combinaisons\u2026) se pr\u00eatent assez mal \u00e0 l\u2019interpr\u00e9tation s\u00e9mantique de nos barres (nombre de paquets et taille des paquets) puisque dans ce cas, les donn\u00e9es sont interchangeables. On \u00e9vitera donc ce type de probl\u00e8me dans la phase d\u2019approche du mod\u00e8le.<\/p>\n

Attention aussi \u00e0 la manipulation du mod\u00e8le; comme vous le constatez, dans ce mode de fonctionnement, on ne peut pas saisir directement le produit\/dividende. Il faut manipuler les deux autres barres, ce qui n\u2019est pas toujours \u00e9vident. Utilisez la gomme pour remettre le sch\u00e9ma dans un \u00e9tat initial.<\/p>\n

Une variante pour la recherche de diviseurs et la d\u00e9composition<\/h1>\n

C\u2019est l\u2019avantage du num\u00e9rique, on peut un peu am\u00e9liorer les choses. On peut aussi les compliquer ! alors \u00e0 vous de juger si la variante est int\u00e9ressante pour vos \u00e9l\u00e8ves.<\/p>\n

En cliquant sur la fl\u00e8che rouge, on fait basculer le sch\u00e9ma dans un deuxi\u00e8me mode de fonctionnement, plus appropri\u00e9 lorsqu\u2019on cherche un diviseur ou un quotient \u00e0 partir du dividende.<\/p>\n

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D’abord, avec la fl\u00e8che du haut, on indique le dividende. En actionnant ensuite la fl\u00e8che du bas, on peut calculer automatiquement les diviseurs et les quotients (entiers \u00e9videmment).<\/p>\n

On arrive \u00e0 des d\u00e9compositions du genre :<\/p>\n

272<\/p>\n

= 1 x 272 = 2 x 136 = 4 x 68 = 8 x 34 = 16 x 17<\/p>\n

= 17 x 16 = 34 x 8 = 68 x 4 = 136 x 2 = 272 x 1<\/p><\/blockquote>\n

Le tout sans effort. Ceci nous permet d\u2019explorer les propri\u00e9t\u00e9s des nombres entiers, de mettre en \u00e9vidence la commutativit\u00e9 de la multiplication puisque nous observons une sym\u00e9trie dans les \u00e9critures.<\/p>\n

Des \u00e9l\u00e8ves vraiment \u00e0 l\u2019aise avec le mod\u00e8le devraient avoir le choix du mode de fonctionnement.<\/p>\n

L\u2019entra\u00eenement sur le site<\/h1>\n

Actilud.com, num\u00e9ration et probl\u00e8mes de base, H2: multiplication, division avec sch\u00e9ma<\/p><\/blockquote>\n

Dans la fen\u00eatre de dialogue des param\u00e8tres vous pouvez tr\u00e8s finement r\u00e9gler la difficult\u00e9 et la nature du travail \u00e0 faire.<\/p>\n

Soucis de compr\u00e9hension ?<\/h2>\n

Si vos \u00e9l\u00e8ves ont des probl\u00e8mes de compr\u00e9hension, ce qui est tr\u00e8s fr\u00e9quent, vous pouvez polariser le travail sur un seul type d\u2019\u00e9nonc\u00e9.\u00a0 Par exemple, choisir \u00ab billes \u00bb dans l\u2019entr\u00e9e \u00ab \u00e9nonc\u00e9 \u00bb. Pour ce type d\u2019\u00e9nonc\u00e9, vous avez la possibilit\u00e9 de s\u00e9lectionner la multiplication, la division quotition ou la division partition. Lorsque les \u00e9l\u00e8ves arrivent \u00e0 r\u00e9soudre les trois types d\u2019op\u00e9ration, vous pouvez demander au programme d\u2019effectuer un choix al\u00e9atoire, toujours avec le m\u00eame probl\u00e8me. Evidemment, les donn\u00e9es changent al\u00e9atoirement.<\/p>\n

Une fois ce probl\u00e8me ma\u00eetris\u00e9, on peut passer \u00e0 un suivant.<\/p>\n

Dans l\u2019entr\u00e9e \u00ab\u00a0\u00e9nonc\u00e9s\u00a0\u00bb vous remarquez que les probl\u00e8mes sont suivis par une lettre, qui correspond au type d\u2019\u00e9nonc\u00e9 :<\/p>\n

a: probl\u00e8me de multiplication ou division simples
\nb: configuration rectangulaire (quand il y a une longueur et une largeur)
\nc: n fois plus ou moins
\nd: produit cart\u00e9sien<\/p><\/blockquote>\n

Cette distinction permet de limiter les choix al\u00e9atoires \u00e0 certaines cat\u00e9gories afin d\u2019am\u00e9liorer la progressivit\u00e9 des apprentissages.<\/p>\n

Pendant la p\u00e9riode d\u2019entra\u00eenement vous avez donc la possibilit\u00e9 d\u2019adapter tr\u00e8s finement l\u2019apprentissage \u00e0 chaque groupe d\u2019\u00e9l\u00e8ves. Comme les entr\u00e9es des param\u00e8tres sont toujours num\u00e9rot\u00e9es, il est facile d\u2019indiquer, au tableau, la s\u00e9rie \u00e0 faire par leurs num\u00e9ros, comme nous l\u2019avons fait nous-m\u00eame dans cet article :<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Ici la consigne est : H2, 4-3-2-7. Les \u00e9l\u00e8ves de ce groupe ne travailleront que sur les \u00e9nonc\u00e9s \u00ab chocolat \u00bb, devront trouver et effectuer les calculs, avec des produits ou des dividendes allant jusqu\u2019\u00e0 1000. Il s\u2019agit d\u2019une phase de consolidation puisque le type de probl\u00e8me sera choisi al\u00e9atoirement.<\/p>\n

N\u2019h\u00e9sitez pas \u00e0 modifier les pistes que nous d\u00e9gageons ici. Le site Actilud n\u2019est pas normatif, les exercices propos\u00e9s s\u2019adaptent \u00e0 votre fa\u00e7on de travailler et \u00e0 votre classe. Profitez du site pour alterner les phases manipulatoires de recherche avec des restitutions collectives.<\/p>\n

Pour en savoir plus voici la vid\u00e9o. Si elle ne s’affiche pas, actualisez la page.<\/p>\n