{"id":2240,"date":"2024-07-22T14:25:24","date_gmt":"2024-07-22T12:25:24","guid":{"rendered":"https:\/\/actilud.com\/info\/?p=2240"},"modified":"2024-07-23T10:04:59","modified_gmt":"2024-07-23T08:04:59","slug":"schema-cartesien","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/actilud.com\/info\/blog\/schema-cartesien\/","title":{"rendered":"Le sch\u00e9ma cart\u00e9sien – un autre mod\u00e8le pour la multiplication"},"content":{"rendered":"

Le sch\u00e9ma cart\u00e9sien est une alternative au sch\u00e9ma multiplicatif de base. Il est beaucoup plus simple \u00e0 comprendre que son analogue, mais il est aussi plus limit\u00e9.<\/p>\n

Pr\u00e9sentation<\/h2>\n

Le principe du sch\u00e9ma cart\u00e9sien repose sur le calcul de l’aire du rectangle :<\/p>\n

A = L x l<\/p>\n

L’aire est \u00e9gale \u00e0 la longueur multipli\u00e9e par la largeur<\/p><\/blockquote>\n

\"\"On peut agir sur l’axe des abscisses, sur l’axe des ordonn\u00e9es, sur l’aire, en d\u00e9pla\u00e7ant les contr\u00f4leurs correspondants. Lorsque les nombres sont grands, on peut affiner la position \u00e0 l’unit\u00e9 \u00e0 l’aide du contr\u00f4leur en forme d’\u00e9toile \u00e0 4 fl\u00e8ches.<\/p>\n

Limites<\/h2>\n

Contrairement au diagramme cart\u00e9sien \u00ab\u00a0math\u00e9matique\u00a0\u00bb, dont les axes ont une longueur infinie, le mod\u00e8le cart\u00e9sien, dont les axes sont finis, est plus limit\u00e9. Avec lui, il n’est pas possible de retrouver tous les diviseurs d’un nombre.<\/p>\n

Prenons le sch\u00e9ma ci-dessus. Nous voyons que les axes sont gradu\u00e9s de 0 \u00e0 10. Il n’est donc pas possible, sur ce mod\u00e8le, d’utiliser des valeurs plus grandes. Le probl\u00e8me suivant ne peut donc pas \u00eatre r\u00e9solu \u00e0 l’aide de ce sch\u00e9ma cart\u00e9sien :<\/p>\n

Les 60 si\u00e8ges d’une salle de spectacle sont r\u00e9partis en 4 rang\u00e9es identiques. Combien y a-t-il de si\u00e8ges dans une rang\u00e9e ?<\/p><\/blockquote>\n

La r\u00e9ponse, 15, n’entre pas sur les axes. Pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me, il faut modifier l’\u00e9chelle du mod\u00e8le et choisir, par exemple, des axes limit\u00e9s \u00e0 32. Mais, si la r\u00e9solution du probl\u00e8me ci-dessus devient possible, la limite est toujours pr\u00e9sente pour les valeurs sup\u00e9rieures \u00e0 32. Ainsi, par exemple, mod\u00e9liser une op\u00e9ration aussi simple que 100 x 1 n’est pas possible sur le mod\u00e8le 32×32.<\/p>\n

Cependant, tous les probl\u00e8mes propos\u00e9s sur Actilud peuvent \u00eatre r\u00e9solus avec les deux sch\u00e9mas. C’est pour cette raison que, dans le param\u00e9trage, la valeur maximale des op\u00e9randes est indiqu\u00e9e.<\/p>\n

Mais, lorsque vous faites une pr\u00e9sentation libre du sch\u00e9ma cart\u00e9sien, tenez compte de cette limite lorsque vous cr\u00e9ez vos propres probl\u00e8mes.<\/p>\n

Int\u00e9r\u00eat<\/h2>\n

Les probl\u00e8mes de r\u00e9partition rectangulaire et les probl\u00e8mes combinatoires sont bien mieux trait\u00e9s par ce mod\u00e8le que par son analogue, le mod\u00e8le multiplicatif en barres.<\/p>\n

Le mod\u00e8le multiplicatif en barre organise les donn\u00e9es en \u00ab\u00a0parts\u00a0\u00bb et en \u00ab\u00a0taille de parts\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Calculs combinatoires<\/h3>\n

Dans les calculs combinatoires en particulier, ce d\u00e9coupage n’a aucun sens. Dans le probl\u00e8me :<\/p>\n

Combien d’assortiments peut-on faire avec 10 chemisiers et 7 jupes ?<\/p><\/blockquote>\n

le d\u00e9coupage en parts et en tailles de parts est artificiel. Dans le mod\u00e8le cart\u00e9sien, il n’existe pas. On peut utiliser indiff\u00e9remment l’axe des abscisses ou des ordonn\u00e9es pour les jupes et les chemisiers, ce qui donne deux sch\u00e9mas possibles :<\/p>\n

\"\"
R\u00e9partition des jupes et des chemisiers<\/figcaption><\/figure>\n

Configuration rectangulaire<\/h3>\n

Dans la configuration rectangulaire, l’organisation en parts et en nombre de parts est possible :<\/p>\n

Un jardiner plante 7 rang\u00e9es de 5 salades. Combien de salades a-t-il plant\u00e9es en tout ?<\/p><\/blockquote>\n

Dans le mod\u00e8le classique, si on respecte l’\u00e9nonc\u00e9 \u00e0 la lettre, une seule configuration est possible:<\/p>\n

La rang\u00e9e est assimil\u00e9e \u00e0 une part. Le nombre de salades dans la rang\u00e9e est la taille des parts.<\/p><\/blockquote>\n

\"\"
\nDans le param\u00e9trage des probl\u00e8mes, si vous choisissez l’option \u00ab\u00a0placer les \u00e9tiquettes sur le sch\u00e9ma\u00a0\u00bb, cette r\u00e9partition sera la seule accept\u00e9e.<\/p>\n

Le sch\u00e9ma cart\u00e9sien, quant \u00e0 lui, accepte les deux configurations :<\/p>\n

\"\"<\/h3>\n

N fois plus, N fois moins<\/h3>\n

Ce type de probl\u00e8me se traite exactement comme la configuration rectangulaire.<\/p>\n

Soit le probl\u00e8me suivant :<\/p>\n

Bob \u00e9conomise 2\u20ac. Alice en \u00e9conomise 6 fois plus. Combien \u00e9conomise-t-elle ?<\/p><\/blockquote>\n

Comme pour la configuration rectangulaire, le sch\u00e9ma multiplicatif en barres n’accepte qu’une seule configuration: la valeur n fois plus\/moins <\/em>doit figurer en tant que nombre de parts,<\/em> soit 6, et la valeur 2 \u20ac <\/em>est la taille des parts.<\/p>\n

Sur le sch\u00e9ma cart\u00e9sien, la position des nombres sur l’axe des abscisses ou des ordonn\u00e9es n’a pas d’importance. Il y a donc deux repr\u00e9sentations possibles.<\/p>\n

Initiation au mod\u00e8le<\/h2>\n

Compter les cases dans un premier temps<\/h3>\n

C’est l\u00e0 tout l’int\u00e9r\u00eat de ce mod\u00e8le. Au d\u00e9part, on compte le nombre de cases pour arriver \u00e0 la conclusion que le nombre de cases est donn\u00e9 par la multiplication des valeurs des abscisses et des ordonn\u00e9es.<\/p>\n

Ainsi, dans un premier temps, on travaille sur le mod\u00e8le le plus simple, avec des axes limit\u00e9s \u00e0 10. L’aire est alors d\u00e9coup\u00e9e en carreaux de taille 1×1, donc des carreaux-unit\u00e9s. Le probl\u00e8me des salades et des rang\u00e9es devient alors tr\u00e8s facile \u00e0 comprendre, si on assimile chaque carreau \u00e0 une salade. Les probl\u00e8mes combinatoires sont facilit\u00e9s, puisque chaque carreau correspond \u00e0 une combinaison.<\/p>\n

Bien s\u00fbr, le mod\u00e8le est aussi une bonne pr\u00e9paration au calcul de l’aire du rectangle. De fait, il sera tr\u00e8s facile d’amener la formule longueur x largeur<\/em> si les \u00e9l\u00e8ves ont d\u00e9j\u00e0, dans leur scolarit\u00e9, rencontr\u00e9 cette situation.<\/p>\n

Attention, le comptage ne doit pas \u00eatre p\u00e9rennis\u00e9. Il faut tr\u00e8s vite amener les \u00e9l\u00e8ves \u00e0 calculer l’aire, car sinon le passage d’\u00e9chelle sera difficile.<\/p>\n

Passage d’\u00e9chelle<\/h3>\n

Dans les\u00a0 axes de taille sup\u00e9rieure, les carreaux sont form\u00e9s de 10 x 10 unit\u00e9s. Chaque carreau repr\u00e9sente donc 100 unit\u00e9s. Il faudra attirer l’attention des \u00e9l\u00e8ves sur ce changement d’\u00e9chelle en traitant d’abord l’aire 10×10 dans un probl\u00e8me sur un diagramme cart\u00e9sien limit\u00e9 \u00e0 10, puis en reprenant le m\u00eame probl\u00e8me sur un diagramme plus grand (100 par 100 est id\u00e9al) o\u00f9 un carreau correspond aux 10 x 10 carreaux du pr\u00e9c\u00e9dent diagramme. Si, \u00e0 ce stade, les \u00e9l\u00e8ves comptent toujours le nombre de carreaux, il faudra multiplier la r\u00e9ponse par 100.<\/p>\n

Notez cependant que certains carreaux risquent bien d’\u00eatre incomplets, comme dans l’illustration ci-dessous :<\/p>\n

\"\"
impossible de compter correctement tous les carreaux.<\/figcaption><\/figure>\n

Passage d’un sch\u00e9ma \u00e0 l’autre<\/h2>\n

\"\"<\/p>\n

Dans les probl\u00e8mes H3,\u00a0 on peut basculer facilement d’un sch\u00e9ma \u00e0 l’autre en cliquant sur cette ic\u00f4ne.<\/p>\n

 <\/p>\n

Conclusion : de la souplesse<\/h2>\n

Permettre aux \u00e9l\u00e8ves de choisir le sch\u00e9ma le plus appropri\u00e9 pour r\u00e9soudre un probl\u00e8me d\u00e9veloppe une certaine souplesse intellectuelle et limite la d\u00e9pendance \u00e0 un mod\u00e8le donn\u00e9. De plus, cette nouvelle approche permet de d\u00e9bloquer des \u00e9l\u00e8ves qui ont du mal \u00e0 comprendre l’autre mod\u00e8le.<\/p>\n

M\u00eame si au d\u00e9part, cela peut \u00eatre contraignant, varier les repr\u00e9sentations est une ouverture : on montre qu’une m\u00eame situation peut \u00eatre mod\u00e9lis\u00e9e de plusieurs mani\u00e8res. C’est un pas vers plus d’agilit\u00e9 mentale. N’oubliez pas aussi, que si les \u00e9l\u00e8ves devraient \u00eatre capables d’utiliser les deux repr\u00e9sentations, ils ont aussi le droit d’avoir des pr\u00e9f\u00e9rences quand au choix du mod\u00e8le. Sachant que notre objectif final est bien de se passer compl\u00e8tement des mod\u00e8les, gr\u00e2ce \u00e0 un entra\u00eenement syst\u00e9matique et bien organis\u00e9.<\/p>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Le sch\u00e9ma cart\u00e9sien est une alternative au sch\u00e9ma multiplicatif de base. Il est beaucoup plus simple \u00e0 comprendre que son analogue, mais il est aussi plus limit\u00e9. Pr\u00e9sentation Le principe du sch\u00e9ma cart\u00e9sien repose sur le calcul de l’aire du rectangle : A = L x l L’aire est \u00e9gale \u00e0 la longueur multipli\u00e9e par […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[],"class_list":["post-2240","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-resolution-de-problemes-base"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/actilud.com\/info\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2240","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/actilud.com\/info\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/actilud.com\/info\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/actilud.com\/info\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/actilud.com\/info\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2240"}],"version-history":[{"count":28,"href":"https:\/\/actilud.com\/info\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2240\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2277,"href":"https:\/\/actilud.com\/info\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2240\/revisions\/2277"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/actilud.com\/info\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2240"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/actilud.com\/info\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2240"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/actilud.com\/info\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2240"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}