{"id":2037,"date":"2024-05-18T22:00:28","date_gmt":"2024-05-18T20:00:28","guid":{"rendered":"https:\/\/actilud.com\/info\/?p=2037"},"modified":"2024-11-26T11:32:22","modified_gmt":"2024-11-26T10:32:22","slug":"circuit_nombres","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/actilud.com\/info\/blog\/circuit_nombres\/","title":{"rendered":"Le circuit des nombres, un outil pour d\u00e9velopper le sens des op\u00e9rations et le calcul mental"},"content":{"rendered":"

Des nombres sont cach\u00e9s et forment un circuit. Chaque nombre est s\u00e9par\u00e9 du suivant par une op\u00e9ration. Pour trouver les nombres, il faut que toutes les op\u00e9rations concordent.<\/p>\n

\"\"
Trois circuits de 3, 4 et 6 \u00e9tapes<\/figcaption><\/figure>\n

Les r\u00e8gles de base<\/h1>\n

Les nombres sont tous des entiers naturels compris entre 1 et 100<\/strong>. Cette r\u00e8gle est fondamentale ! Elle permet d’encadrer la recherche.<\/p>\n

On utilise les quatre op\u00e9rations de base : l’addition (+), la soustraction (-), la multiplication (x) et la division (:).<\/p>\n

Conform\u00e9ment \u00e0 la r\u00e8gle, la soustraction <\/strong> doit produire un entier naturel sup\u00e9rieur \u00e0 0. Donc, dans l’op\u00e9ration a – b<\/em>, nous devons avoir a > b<\/em>.<\/p>\n

La division<\/strong> est la division euclidienne sans reste.<\/strong> Autrement dit, pour que la division a : b<\/em> soit possible, il faut que b<\/em> soit un diviseur de\u00a0a.<\/em><\/p>\n

8 : 2 ok\r\n8 : 3 impossible\r\n8 : 4 ok\r\n8 : 5 impossible\r\n<\/pre>\n
Le circuit est r\u00e9versible.<\/strong> Il suffit de changer le sens des fl\u00e8ches.\u00a0 Les \u00ab\u00a0+\u00a0\u00bb permutent alors avec les \u00ab\u00a0-\u00ab\u00a0, les \u00ab\u00a0x\u00a0\u00bb permutent avec les \u00ab\u00a0:\u00a0\u00bb.<\/p>\n
\"\"
Le m\u00eame circuit, dans deux sens diff\u00e9rents<\/figcaption><\/figure>\n
Pour provoquer un changement de sens, cliquer sur la double-fl\u00e8che au centre du circuit.<\/p><\/blockquote>\n
Bien s\u00fbr, les circuits propos\u00e9s sur Actilud n’ont qu’une seule solution, tant que les nombres sont dans les limites impos\u00e9es.<\/p>\n
Les op\u00e9rateurs<\/h3>\n
Un op\u00e9rateur est le nombre qui figure apr\u00e8s l’op\u00e9ration.<\/p>\n
Dans l’addition et la soustraction, l’op\u00e9rateur sera toujours compris entre 1 et 10.<\/p>\n
Les multiplicateurs et les diviseurs\u00a0 sont compris entre 2 et 12.<\/p>\n
La strat\u00e9gie<\/h1>\n
La premi\u00e8re strat\u00e9gie est d’\u00e9crire l’\u00e9quation correspondant au circuit et de la r\u00e9soudre ! C’est un exercice tr\u00e8s int\u00e9ressant au coll\u00e8ge, mais bien s\u00fbr ce n’est pas au programme de l’\u00e9cole primaire. Par exemple, l’\u00e9quation du circuit ci-dessous (exemple 1) <\/em>est\u00a0 :<\/p>\n
a = 9 (a-2) \/ 6<\/p>\n
ce qui se r\u00e9sout en : a=6<\/p>\n
a est le nombre dans la case A<\/p><\/blockquote>\n
Transformer un circuit en formule n’a rien d’\u00e9vident ! Il faut respecter la priorit\u00e9 des op\u00e9rateurs pour \u00e9crire les op\u00e9rations dans le bon ordre.<\/p>\n
L’autre strat\u00e9gie est la \u00ab\u00a0force brute\u00a0\u00bb : essayer tous les nombres les uns apr\u00e8s les autres dans une case, les propager, jusqu’\u00e0 ce que l’on obtienne un r\u00e9sultat coh\u00e9rent ! \u00c9videmment, si cette strat\u00e9gie est assez simple \u00e0 programmer sur un ordinateur, elle n’est gu\u00e8re satisfaisante pour un humain. Elle sera sans doute privil\u00e9gi\u00e9e au d\u00e9but par les \u00e9l\u00e8ves, surtout si on autorise le calcul des op\u00e9rations par l’ordinateur.<\/p>\n
Voyons donc quelques pistes pour am\u00e9liorer les performances; notre but \u00e9tant de d\u00e9velopper le sens des op\u00e9rations !<\/p>\n
D\u00e9finition : a, b, c, … sont les nombres plac\u00e9s respectivement dans les cases A, B, C, …<\/p><\/blockquote>\n
Trouver l’emplacement du plus petit nombre<\/h2>\n
Cette piste permet de cibler une case de d\u00e9part pour nos calculs. Pour cela, nous devons nous demander quelles sont les op\u00e9rations qui diminuent <\/em>un nombre dans notre circuit. C’est facile : il s’agit de la soustraction et de la division. Dans le cadre des r\u00e8gles expliqu\u00e9es ci-dessus, d\u00e8s qu’un nombre est plus grand que 20, la division diminue davantage le nombre que la soustraction;\u00a0 nous la privil\u00e9gierons donc, sauf exception. Lorsque plusieurs op\u00e9rations successives sont des divisions et\/ou des soustractions, on peut \u00eatre \u00e0 peu pr\u00e8s certain que la case d’arriv\u00e9e de la s\u00e9rie contient le nombre le plus petit.<\/p>\n
Attention : associer la division \u00e0 une diminution est vrai dans dans l’ensemble des entiers naturels positifs, si le diviseur est plus grand que 1. Mais ce n’est pas le cas avec des diviseurs r\u00e9els ou d\u00e9cimaux compris entre 0 et 1 : 20 \/ 0.5 =40.<\/p><\/blockquote>\n
Dans une \u00e9nigme \u00e0 trois \u00e9tapes, il est souvent assez facile de trouver la case contenant le plus petit nombre :<\/p>\n
\"\"
Exemple 1<\/figcaption><\/figure>\n
Ici il y a deux op\u00e9rations successives de diminution :\u00a0 (: 6) et (- 2). \u00c0 coup s\u00fbr, la case B contient le plus petit nombre. \u00c0 priori, la valeur minimum de b est 1 et sa valeur maximum est 11, car il est suivi par une multiplication par 9 dont le r\u00e9sultat ne doit pas d\u00e9passer 100 : b \u2208<\/b> <\/span><\/span>[ 1 , 11 ]. Ceci\u00a0 permet de d\u00e9duire les valeurs de c et de les \u00e9crire par extension : c \u2208 <\/b>{ 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 }.\u00a0<\/span><\/span> On peut ensuite utiliser la technique d\u00e9crite ci-dessous pour d\u00e9couvrir finalement que C doit \u00eatre multiple \u00e0 la fois de 9 et de 6, ce qui donne : c \u2208 <\/b>{ 18, 36, 54, 72, 90}. Il n’y a plus que 5 possibilit\u00e9s \u00e0 tester. <\/span><\/span><\/p>\n
Trouver la case qui est multiple des deux cases voisines.<\/h2>\n
Lorsqu’une multiplication est suivie d’une division, la case \u00e0 l’intersection des deux op\u00e9rations doit contenir un multiple qui convienne \u00e0 la fois \u00e0 l’une et \u00e0 l’autre op\u00e9ration.<\/p>\n
\"\"
Exemple 2<\/figcaption><\/figure>\n
La case C doit \u00eatre multiple de 5 mais aussi divisible par 9. Il faut donc trouver les multiples communs \u00e0 5 et 9; il n’y en a que deux possibles entre 1 et 100 : 45 et 90. Nous n’avons donc que deux tests \u00e0 effectuer !<\/p>\n
Nb: cette technique ne s’applique pas au cas inverse – une division suivie par une multiplication.<\/p>\n
Bien observer le circuit et chercher une loi g\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n
Toujours dans le cadre de la technique de la multiplication suivie par la division, on peut quelquefois limiter le nombre de possibilit\u00e9s en examinant soigneusement le circuit. Dans le cas ci-dessous, nous voyons que la case F contient des multiples de 10 :<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Mais observons bien le chemin qui m\u00e8ne \u00e0 la case F. Partons de B. Le nombre en B est multipli\u00e9 par 2, ce qui donne donc un nombre pair en C. Ensuite, on y soustrait 8, mais ce faisant on obtient encore un nombre pair. Puis, on y ajoute 2, ce qui donne toujours un nombre pair. Enfin, ce nombre pair est multipli\u00e9 par 2. Or, un nombre pair multipli\u00e9 par 2 donne un multiple de 4 ! Donc, la case en F contient un multiple de 20, ce qui ne laisse plus que 5 cas \u00e0 examiner, au lieu de 10 : f\u00a0 \u2208 <\/b>{ 20 , 40, 60 ,80, 100 }<\/span><\/span><\/p>\n
Multiples d’arriv\u00e9e ou de d\u00e9part<\/h2>\n
Si dans un circuit, une case est \u00e0 l’arriv\u00e9e de plusieurs multiplications cons\u00e9cutives, elle contient un multiple de ces op\u00e9rations.<\/p>\n
Si dans un circuit, une case est le point de d\u00e9part de plusieurs divisions cons\u00e9cutives, elle contient un multiple de ces op\u00e9rations.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Dans l’exemple ci-dessus, la case D est \u00e0 l’arriv\u00e9e de deux multiplication, x2 et x5 : elle contient donc un multiple de 10.<\/p>\n
Remarquons aussi, au passage, que la case E contient un multiple de 5 ! En effet, pour parvenir \u00e0 E \u00e0 partir de B, la multiplication et la division par 2 s’annulent mutuellement.<\/p>\n
Le sens des op\u00e9rations<\/h1>\n
Le mot \u00ab\u00a0sens\u00a0\u00bb a un … double sens ! Il s’agit d’une part, de la r\u00e9versibilit\u00e9 de l’op\u00e9ration (A x B\u00a0 \u21d4<\/span><\/dfn> B : A), et d’autre part, de la compr\u00e9hension de l’op\u00e9ration.<\/p>\n
Dans l’exemple ci-dessus, on voit que l’on inverse souvent les calculs: dans l’exemple 1, pour aboutir \u00e0 la case A \u00e0 partir de C, on fait une division. Mais pour retrouver C \u00e0 partir de A, on fait donc une multiplication.<\/p>\n
Pour bien ma\u00eetriser les op\u00e9rations, il faut donc utiliser r\u00e9versibilit\u00e9.<\/p>\n
Mais ce n’est pas suffisant. Il faut aussi comprendre et utiliser les notions de diviseur<\/em> et de multiple<\/em>. Si on reconna\u00eet un multiple ou un diviseur d’un coup d\u2019\u0153il, on \u00e9vite bien des calculs. La connaissance des tables de multiplication est ici tr\u00e8s importante.<\/p>\n
Une fa\u00e7on simple d’aborder les notions de diviseurs et de multiples est d’utiliser ce que les \u00e9l\u00e8ves connaissent d\u00e9j\u00e0 : les tables de multiplication. Il suffit de leur faire remarquer que toute multiplication peut s’\u00e9crire sous la forme : diviseur1 x diviseur2 = multiple.<\/p>\n
Il est imp\u00e9ratif d’utiliser un support pour \u00e9crire les hypoth\u00e8ses; sinon, on risque de t\u00e2tonner sans grande efficacit\u00e9. On gagne du temps si on \u00e9crit les intervalles pour les nombres cons\u00e9cutifs, ou des ensembles extensifs de nombres possibles \u00e0 barrer au fur et \u00e0 mesure.<\/p>\n
Lorsque les grilles ont plus de 3 cases, c’est plus difficile, mais on peut proc\u00e9der de m\u00eame, de proche en proche.<\/p>\n
Des op\u00e9rations automatiques au calcul mental<\/h2>\n
Par d\u00e9faut, apr\u00e8s avoir d\u00e9pos\u00e9 une \u00e9tiquette sur une case, on peut cliquer sur l’op\u00e9ration correspondante. Celle-ci est automatiquement effectu\u00e9e et le r\u00e9sultat, une nouvelle \u00e9tiquette, se d\u00e9pose dans la case suivante. Si jamais il y avait d\u00e9j\u00e0 une \u00e9tiquette diff\u00e9rente dans cette case, celle-ci est d\u00e9plac\u00e9e sur le c\u00f4t\u00e9, ce qui permet d’en conserver le souvenir.<\/p>\n
L’op\u00e9ration automatique permet aux \u00e9l\u00e8ves de se concentrer sur l’essentiel, la d\u00e9couverte d’une strat\u00e9gie sans \u00eatre perturb\u00e9 par les calculs. Je recommande cette approche au tout d\u00e9but. Elle permet \u00e0 tous de bien comprendre ce qu’il se passe, gr\u00e2ce aux animations des \u00e9tiquettes. On peut aussi retourner les fl\u00e8ches, l’action est visuelle et montre bien que le sens des op\u00e9rations change, et que les op\u00e9rations elles-m\u00eames\u00a0 permutent.<\/p>\n
Bien s\u00fbr, les op\u00e9rations automatiques sont des b\u00e9quilles qui, \u00e0 terme, risquent de diminuer l’efficacit\u00e9 de la recherche ! Dans un second temps, on peut inhiber les op\u00e9rations automatiques, tout en conservant la possibilit\u00e9 de faire des calculs avec la calculette – ce qui est d\u00e9j\u00e0 plus fastidieux et incite les \u00e9l\u00e8ves \u00e0 calculer mentalement les op\u00e9rations simples.<\/p>\n
Enfin, une fois les \u00e9l\u00e8ves entra\u00een\u00e9s, on interdit toute aide (\u00e0 part le brouillon, bien s\u00fbr), pour favoriser le calcul mental.<\/p>\n
Dans tous les cas, il est conseill\u00e9 d’apporter un cahier de brouillon. \u00c0 d\u00e9faut, on peut utiliser la fen\u00eatre de notes pr\u00e9vue \u00e0 cet effet.<\/p>\n
Le calcul mental, cela s’apprend !<\/h1>\n
\u00c0 tout hasard, voici un petit rappel utile de ce que les \u00e9l\u00e8ves devraient savoir.<\/p>\n
Bien conna\u00eetre ses tables d’addition et de multiplication.<\/h2>\n
Cela tombe sous le sens. Pas de calcul mental efficace sans cela. Le jeu est aussi un bon moyen de s’entra\u00eener si on supprime l’aide automatique.
\nIl est recommand\u00e9 de conna\u00eetre aussi la table de 11 jusqu’\u00e0 99 (ce qui est facile) et la table de 12 (pas si facile mais tellement utile.)<\/p>\n
Savoir identifier la divisibilit\u00e9<\/h2>\n
Voici un petit rappel des techniques qui, lorsqu’elles ne sont pas universelles, sont applicables \u00e0 des nombres jusqu’\u00e0 100.<\/p>\n
divisible par 2 : <\/strong>le nombre doit \u00eatre pair\u00a0 (r\u00e8gle universelle.)<\/p>\n
divisible par 3<\/strong> : faire la somme de tous les chiffres du nombre. Les chiffres 9 peuvent \u00eatre remplac\u00e9s par 0.\u00a0 Si le r\u00e9sultat est un nombre \u00e0 plusieurs chiffres, on recommence l’op\u00e9ration sur le r\u00e9sultat jusqu’\u00e0 obtenir un seul chiffre.\u00a0 \u00c0 la fin, le nombre obtenu doit \u00eatre 0, 3, 6 ou 9, c’est \u00e0 dire multiple de 3\u00a0 (r\u00e8gle universelle.)<\/p>\n
124932 :
\n1 + 2 = 3
\n3 + 4= 7
\n7 + 9 \u21d4 7 + 0 = 7
\n7 + 3 = 10, 1 + 0 = 1
\n1 + 2 = 3
\n124932 est multiple de 3<\/p><\/blockquote>\n
divisible par 4<\/strong> :\u00a0 les deux derniers chiffres forment un nombre lui-m\u00eame divisible par 4. Comme on n’apprend la table de 4 que jusqu’\u00e0 40, on peut soustraire 40 ou 80 au nombre form\u00e9 par les deux derniers chiffres si celui-ci est trop grand, avant de v\u00e9rifier la divisibilit\u00e9 par 4 (r\u00e8gle universelle).<\/p>\n
2576 est-il divisible par 4 ?
\n76 – 40 = 36
\n36 est divisible par 4 => 2576 est divisible par 4<\/p><\/blockquote>\n
divisible par 5 : <\/strong>le nombre se termine par 0 ou 5 (r\u00e8gle universelle).<\/p>\n
divisible par 6 : <\/strong>le nombre doit \u00eatre pair et divisible par 3 (r\u00e8gle universelle)<\/p>\n
divisible par 7 : <\/strong>le nombre doit figurer dans la table de 7. S’il est plus grand que 70, lui soustraire d’abord 70.
\nIl existe une technique universelle, peu connue, qui n’est g\u00e9n\u00e9ralement pas enseign\u00e9e car trop complexe. On retire le dernier chiffre du nombre, on le double et on le soustrait au nombre tronqu\u00e9. On recommence tant que c’est possible. A la fin, on v\u00e9rifie si le r\u00e9sultat est dans la table de 7.<\/p>\n
2401 est-il divisible par 7 ?
\nOn retire le 1, il reste 240
\n240 – (1×2) = 240-2 = 238
\nOn retire le 8, il reste 23
\n23 – (8×2) = 23 – 16 = 7 pr\u00e9sent dans la table de 7
\n2401 est divisible par 7<\/p><\/blockquote>\n
divisible par 8 :<\/strong> pas de technique particuli\u00e8re; si le nombre est impair, il n’est pas divisible par 8. S’il est pair, il doit figurer dans la table de 8. Soustraire 80 s’il est plus grand.<\/p>\n
divisible par 9 :\u00a0<\/strong>utiliser la r\u00e8gle de la divisibilit\u00e9 par 3. Si le r\u00e9sultat est 0 ou 9, le nombre est divisible par 9 (r\u00e8gle universelle).<\/p>\n
divisible par 10 : <\/strong>le nombre finit par un 0 (r\u00e8gle universelle).<\/p>\n
divisible par 11 :<\/strong> le nombre (plus petit que 100 !) est form\u00e9 de deux chiffres identiques : 11, 22, 33, 44, etc.<\/p>\n
divisible par 12 :<\/strong> pas de technique particuli\u00e8re; v\u00e9rifier si le nombre est pair. Si c’est le cas, v\u00e9rifier qu’il figure dans la table de 12.<\/p>\n
\"\"<\/a>
Lien vers l’activit\u00e9<\/figcaption><\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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