L’implication fait partie des techniques avanc\u00e9es. Elle fonctionne avec des bool\u00e9ens et demande la mise en place d’hypoth\u00e8ses. Elle produit une simplification du nombre de bool\u00e9ens. C’est une instruction extr\u00eamement puissante et elle est beaucoup utilis\u00e9e dans les \u00e9nigmes marqu\u00e9es \u00ab\u00a0souvent difficiles\u00a0\u00bb.<\/p>\n
L’implication n’est pas ais\u00e9e \u00e0 comprendre. Pour aider, on peut la traduire par la formule \u00ab\u00a0si… alors\u00a0\u00bb.<\/p>\n
Cette phrase est parfaite pour comprendre – l’avoir \u00e0 l’esprit permet d’\u00e9viter bien des erreurs.<\/p>\n
Actilud traite le cas suivant :<\/p>\n
Si a \u21d2 b et b \u21d2 a, alors a\u21d4b et on peut remplacer l’un par l’autre.<\/p><\/blockquote>\n
Pour effectuer une implication, on choisit un bool\u00e9en a <\/em>et on observe ce qu’il se passe lorsqu’on le met \u00e0 vrai.\u00a0<\/em>Si on trouve un bool\u00e9en\u00a0b\u00a0<\/em>qui devient\u00a0vrai\u00a0<\/em>\u00e0 la suite de\u00a0a, <\/em>on remet a <\/em>\u00e0 son \u00e9tat initial et on observe ce qu’il se passe lorsqu’on met b <\/em>\u00e0 vrai<\/em>. Si a<\/em> devient vrai \u00e0 son tour, nous avons d\u00e9montr\u00e9 l’\u00e9quivalence et on peut remplacer l’un par l’autre. Sur le site on peut m\u00e9moriser une configuration, cela permet d’effectuer des hypoth\u00e8ses et de revenir en arri\u00e8re. Il est conseill\u00e9 de commencer par les bool\u00e9ens les plus fr\u00e9quents.<\/p>\n
Mais soyez prudent !<\/p>\n
Une erreur commune consiste \u00e0 croire que, si a \u21d2 b et \u00aca \u21d2 \u00acb, alors a\u21d4b. C’est faux ! Aussi faux que de dire \u00ab\u00a0s’il ne pleut pas, alors il n’y a pas de nuage\u00a0\u00bb. Appliqu\u00e9 aux bool\u00e9ens, cela se traduit ainsi: si a vrai\u00a0<\/em>=>\u00a0b vrai\u00a0<\/em> et si a faux\u00a0<\/em>=>\u00a0b faux, on n’a pas le droit de conclure que a \u21d4 b et on ne doit pas les remplacer l’un par l’autre, <\/em>m\u00eame si pourtant on en a tr\u00e8s envie, car les comportements des deux bool\u00e9ens semblent s’accorder.<\/p>\n
Remarque : le symbole \u00ac est la n\u00e9gation: b \u21d2 \u00aca\u00a0 signifie b<\/em> implique \u00ab\u00a0non a\u00a0\u00bb<\/em>; si b<\/em> est vrai, alors \u00ab\u00a0\u00aca<\/em>\u00a0\u00bb est vrai, donc a <\/em>est faux.<\/p>\n
La table de v\u00e9rit\u00e9 de l’implication est la suivante; elle n’est pas intuitive. L’implication a \u21d2 b est fausse dans un seul cas, lorsque a est vrai et b est faux. Cela signifie qu’une pr\u00e9misse\u00a0 vraie ne doit pas impliquer une conclusion fausse; mais, si la pr\u00e9misse est fausse, peu importe la conclusion: l’implication est toujours vraie.<\/p>\n
\n\n
\n a<\/th>\n b<\/th>\n a\u00a0\u21d2\u00a0b<\/th>\n<\/tr>\n \n Vrai<\/td>\n Vrai<\/td>\n Vrai<\/td>\n<\/tr>\n \n Vrai<\/td>\n Faux<\/td>\n Faux<\/td>\n<\/tr>\n \n Faux<\/td>\n Vrai<\/td>\n Vrai<\/td>\n<\/tr>\n \n Faux<\/td>\n Faux<\/td>\n Vrai<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n Analysons l’erreur commune. Lorsque l’on met a\u00a0<\/em> \u00e0 vrai, on s\u00e9lectionne les deux premi\u00e8res lignes de notre tableau. Puis, on d\u00e9montre que a \u21d2 b est vrai (en mettant a <\/em>\u00e0 vrai, <\/em>on voit que b <\/em>devient vrai <\/em>\u00e0 sont tour); nous voyons dans le tableau que nous devons retenir la premi\u00e8re ligne: a vrai, <\/em>a \u21d2 b vrai,\u00a0<\/em>donc b est vrai.
\nVoyons ce qu’il se passe avec \u00aca \u21d2 \u00acb. Lorsqu’on met a\u00a0<\/em>\u00e0 faux, on s\u00e9lectionne les deux derni\u00e8res lignes de notre tableau. Puis, lorsqu’on d\u00e9montre que \u00aca \u21d2 \u00acb (en mettant a <\/em>\u00e0 faux on voit que b <\/em>devient faux<\/em> \u00e0 son tour), l’implication est vraie, donc nous sommes toujours sur les deux derni\u00e8res lignes. Et l’on voit dans ce cas, que l’implication est vraie quel que soit l’\u00e9tat de b, <\/em>vrai ou faux. Donc nous n’avons rien d\u00e9montr\u00e9.<\/p>\nIncoh\u00e9rences<\/h2>\n
C’est un cas fr\u00e9quent qui est souvent appr\u00e9ci\u00e9 par les joueurs, car il permet d’avancer tr\u00e8s vite dans la r\u00e9solution ! Il peut arriver qu’une implication produise une incoh\u00e9rence. Il en existe de plusieurs sortes :<\/p>\n
\n
- rang\u00e9es avec uniquement des cases \u00e0\u00a0faux<\/em><\/li>\n
- rang\u00e9es avec plusieurs signes\u00a0vrai<\/em><\/li>\n
- bool\u00e9en ne pouvant prendre aucune valeur : ni vrai, ni faux.<\/li>\n
- alternative ne pouvant pas se r\u00e9soudre<\/li>\n<\/ul>\n
Dans ce cas, il suffit de mettre la valeur inverse dans le bool\u00e9en : si l’hypoth\u00e8se\u00a0a est vrai<\/em> aboutit \u00e0 une incoh\u00e9rence, mettre\u00a0a\u00a0<\/em>\u00e0\u00a0faux<\/em>; inversement, si l’hypoth\u00e8se\u00a0a est faux<\/em> aboutit \u00e0 une incoh\u00e9rence, mettre\u00a0a\u00a0<\/em>\u00e0\u00a0vrai.<\/em><\/p>\n
L’incoh\u00e9rence est aux int\u00e9grammes ce que le raisonnement par l’absurde est aux math\u00e9matiques. Si un raisonnement logique aboutit \u00e0 une absurdit\u00e9, on a d\u00e9montr\u00e9 que les pr\u00e9misses sont fausses.<\/p>\n
Bool\u00e9en vrai… mais faux<\/h2>\n
C’est un cas particulier d’incoh\u00e9rence, qui est trait\u00e9 par Actilud :<\/p>\n
Si a \u21d2b et b \u21d2 \u00aca alors a = faux<\/p><\/blockquote>\n
Pour travailler le corollaire, apr\u00e8s avoir d\u00e9montr\u00e9 que a => b<\/em>, on doit donc d\u00e9montrer que b => \u00aca<\/em>. En mettant le bool\u00e9en b<\/em> \u00e0 vrai, on d\u00e9couvre que le bool\u00e9en a <\/em>finit par devenir faux. <\/em>Si c’est le cas, on peut remplacer tous les bool\u00e9ens a <\/em>dans les grilles par des signes faux.<\/em><\/p>\n
Invariance<\/h2>\n
Si, quelle que soit la valeur d’un bool\u00e9en a<\/em>, un bool\u00e9en b<\/em> est toujours vrai <\/em>ou toujours faux<\/em>, <\/em>alors on peut affecter cette valeur au bool\u00e9en b<\/em>.<\/p><\/blockquote>\n
Depuis la mise \u00e0 jour de f\u00e9vrier 2025, nous avons int\u00e9gr\u00e9 dans l’implication ce cas d’invariance sp\u00e9cifique aux bool\u00e9ens, lorsqu’un bool\u00e9en agit sur un autre bool\u00e9en.<\/em> Le cas o\u00f9 une modification de bool\u00e9en produit des cases vides constantes est toujours trait\u00e9 par l’invariance.<\/p>\n
Comment est effectu\u00e9e l’implication sur Actilud<\/h1>\n
Pour que les \u00e9nigmes ne soient pas trop difficiles, le solveur limite ses d\u00e9ductions.<\/p>\n
Pour effectuer l’implication, le solveur passe en revue tous les bool\u00e9ens, en commen\u00e7ant par les plus fr\u00e9quents. Il effectue les hypoth\u00e8ses en faisant une recherche par niveau (voir ci-dessous).<\/p>\n
Seules les \u00e9nigmes marqu\u00e9es souvent difficiles\u00a0<\/em>sont susceptibles d’utiliser l’implication ou l’invariance. Dans les \u00e9nigmes de base (jogging, d\u00e9fil\u00e9 de mode, char \u00e0 voile, verger) le solveur ajoute la configuration en carr\u00e9; il n’y a donc pas syst\u00e9matiquement de l’implication ou de l’invariance. De plus, la difficult\u00e9 peut ne pas appara\u00eetre car elle d\u00e9pend de l’ordre dans lequel on traite les propositions.<\/p>\n
Depuis la mise \u00e0 jour de f\u00e9vrier 2025, le solveur privil\u00e9gie toujours les solutions qui demandent le moins de profondeur d’analyse. Elles sont ainsi -quelquefois- plus compr\u00e9hensibles et rendent les \u00e9nigmes plus motivantes. De plus, le solveur tient compte des incoh\u00e9rences. Pour vous aider un peu, le niveau de difficult\u00e9 de l’implication et de l’invariance est indiqu\u00e9 par le Conseiller, lorsque vous utilisez le solveur en mode \u00ab\u00a0pas \u00e0 pas\u00a0\u00bb . Le niveau correspond au nombre d’op\u00e9rations r\u00e9ussies\u00a0<\/em>qu’il a fallu faire pour obtenir un r\u00e9sultat. Le niveau 1 est donc le plus facile: l’implication n’a demand\u00e9 qu’une seule op\u00e9ration. Le niveau 7 est le plus difficile.<\/p>\n
Les op\u00e9rations effectu\u00e9es sont: intersections, compl\u00e9ment, r\u00e9percussion, fusion; le compl\u00e9ment \u00e9tant ex\u00e9cut\u00e9 plusieurs fois. L’intersection comprend aussi la coh\u00e9rence.<\/p>\n