Disponible dans la partie Énigmes de logique, le jeu Le donjon de la vérité associe la lecture à la logique. Pour résoudre les énigmes proposées, il faut bien lire l’énoncé et surtout, analyser les propositions qui sont faites et les classer en fonction du nombre de menteurs.

Le principe

Le joueur se perd dans un donjon hanté. Il passe de salle en salle dans l’espoir de recouvrer la liberté. Dans chaque salle il rencontre des gardiens qui gardent un sac rempli de boules numérotées. Le joueur doit choisir une de ces boules et la déposer dans une urne. Une seule de ces boules permet d’avancer dans le jeu. Les autres conduisent aux oubliettes.

Le joueur dispose de deux indications :

• le nombre de menteurs, indiqué dans l’énoncé
• les propositions des gardiens

Certaines de ces propositions sont vraies et d’autres sont fausses. Le nombre de propositions fausses correspond au nombre de menteurs. Pour s’en sortir, le joueur doit :

• classer les gardiens en menteurs et « véridiques », en les plaçant sur la zone « vraie » et la zone « faux ».
• trouver la bonne boule numérotée et la déposer dans l’urne

Si les deux conditions sont remplies, le joueur avance vers une nouvelle salle (qui contient un gardien de plus). S’il échoue, il perd un point de vie et recommence dans la même salle. Le jeu s’arrête lorsqu’il n’y a plus de points de vie; néanmoins, il y en a largement assez pour pouvoir avancer sans être inquiété.

NB: le sac rempli de boules est le sélecteur, en haut.

Vérité, mensonge et injonction

Si on analyse les propositions des gardiens, on découvre qu’elles sont de deux sortes.

• les propositions : « Le 2 conduit aux oubliettes »
• des injonctions, qui ne sont pas, à proprement parler, des propositions : « Ne choisis pas le 3 ! »

En effet, une proposition, en logique, est un énoncé qui peut être vrai, ou faux. Or une injonction n’est pas une proposition, c’est un ordre qui, à priori, ne peut être vrai ou faux. Toutefois, si on lit attentivement l’énoncé introductif, on sait qu’il faut « répartir les gardiens entre les menteurs, qui souhaitent la perte du joueur, et ceux qui disent la vérité, qui souhaitent l’aider. »

En réalité, il y a indépendance entre la volonté d’aider ou de nuire, et celle de dire la vérité ou de mentir. En effet, on pourrait imaginer une énigme où ce sont les menteurs qui veulent aider le joueur ! Donc la phrase d’introduction est extrêmement importante, car c’est elle qui permet de fixer un statut de vérité ou de mensonge aux injonctions.

Pourquoi ai-je mis des injonctions ? Tout simplement pour varier un (tout petit) peu la lecture.

Si on a des élèves, il est important de bien leur faire comprendre le rôle des introductions, dans les problèmes de logique.

Deux niveaux d’interprétation

Pour rendre l’analyse un peu plus difficile, on peut choisir le niveau « difficile » dans le paramétrage, interprétation des phrases. Dans ce niveau de difficulté, certains gardiens font référence aux propos d’autres gardiens. Il faut alors transformer leurs propos pour les rendre solutionnables.

Bleu dit: « Je suis d’accord avec Vert ».
Vert dit: « Choisis le 5 ! »

Il faut transformer la proposition de Bleu. Il est d’accord avec vert, donc cela signifie qu’il dit la même chose que Vert: « Choisis le 5! ». On peut à ce moment appliquer un statut de vérité ou d’erreur à ces propositions.

Bleu dit: « Je suis d’accord avec Vert » ⇒ « Choisis le 5 ! ».
Vert dit: « Choisis le 5 ! »

Voici un autre cas :

Bleu dit : « N’écoute pas Vert ! »
Vert dit : « Ne choisis pas le 3 ! »

Ici Bleu n’est pas d’accord avec Vert. En effet, il recommande de ne pas l’écouter. Il faut donc dire le contraire de Vert. Après transformation, cela donne :

Bleu dit : « N’écoute pas Vert ! » ⇒ « Choisis le 3 ! »
Vert dit : « Ne choisis pas le 3 ! »

Trouver les véridiques et les menteurs : rester cohérent

C’est la partie la plus intéressante de notre énigme. Au départ, tous les gardiens sont placés sur la zone « véridique » :. La zone des menteurs, , est vide.

Dans l’illustration, il y a trois menteurs. Il faut donc déplacer trois gardiens dans la zone . Mais comment procéder ? En rendant l’énoncé cohérent.

La cohérence, c’est la clé

D’après l’énoncé introductif nous savons trois choses :

• il y a une solution
• cette solution est unique
• il y a trois menteurs

Il y a une solution, donc nous pouvons résoudre l’énigme et nous pouvons rejeter une réponse qui ne propose aucune boule « gagnante ».

La solution est unique, donc nous devons rejeter toutes les réponses qui produisent plusieurs boules « gagnantes ».

Il y a trois menteurs: donc il faut trois gardiens dans la zone du bas.

Comment rendre l’énoncé cohérent ? en regroupant les énoncés qui parlent de la même boule et en inversant les propositions des menteurs.

Inverser les propositions

Voici comment cela se passe pour le premier de la série, le gardien rouge :

Rouge dit : « Le 5 conduit à la liberté ! »
si Rouge ment, sa proposition devient :  « Le 5 conduit aux oubliettes ! »

Regrouper les énoncés qui parlent de la même boule

Nous constatons en observant attentivement l’énigme ci-dessus, qu’il y a un problème avec la boule 4.

Vert: « Ne choisis pas le 4 ! » ⇒ « Le 4 conduit aux oubliettes »
Bleu : « Le 4 conduit à la liberté ! »

L’un des deux ment, forcément.

Si Vert est le menteur, forcément Bleu dit la vérité. Donc la boule 4 conduit à la liberté. Mais l’énoncé indique alors que la boule 6 et la boule 5 conduisent aussi à la liberté. Ce qui est incohérent. Dans ce cas, si on considère Jaune et Blanc comme menteurs, le 6 est éliminé mais il reste le 4 et le 5. Nous avons trois menteurs mais deux boules possibles. La solution est rejetée.

De fil en aiguille, en déplaçant les figurines dans les zones, on finit par trouver une solution cohérente : les menteurs sont Bleu (« Le 4 conduit à la liberté »), Jaune (« Choisis le 6 ») et Blanc (« Choisis le 6 »). Les autres gardiens disant la vérité, nous savons qu’il ne faut pas choisir les boules 1,3 et 4. Il reste la boule 2 et la boule 5, mais grâce à  Rouge (« Le 5 conduit à la liberté ») nous savons qu’il faut choisir la boule 5.

Quelquefois, le N° de la boule gagnante n’apparaît pas directement. Il faut éliminer toutes les boules perdantes et constater qu’il ne reste plus qu’une seule boule disponible, qui forcément, est la gagnante.

 

Comme il existe une solution unique, inutile de chercher d’autres possibilités. Une fois qu’on a trouvé une solution, c’est forcément la bonne !

Nombre de menteurs inconnu !

La fin l’énigme se corse ! Nous savons qu’il existe une solution unique mais on ignore le nombre de menteurs !

Alors comment faire ?

La cohérence, encore la cohérence, toujours la cohérence

Il va falloir passer en revue toutes les possibilités. Heureusement, dans le parcours d’initiation, il n’y a que 4 gardiens au maximum ! Pour quatre gardiens, il peut donc y avoir 0, 1, 2, 3 ou 4 menteurs.

Pour déterminer le nombre de menteurs, il faut tester, pour chaque nombre de menteurs, s’il existe une solution unique. S’il n’y a pas de solution, ou s’il y en a plusieurs, alors on élimine le nombre de menteurs et on passe au suivant.

Un cas simple pour commencer

 

Observons l’illustration ci-dessus.

Rouge: « Ne choisis pas le 2 ! »
Vert: « Le 2 conduit aux oubliettes ! »
Bleu: « Ne choisis pas le 2 ! »
Orange: « Le 2 conduit aux oubliettes ! »

Il semble que nos gardiens se soient tous mis d’accord : il ne faut -surtout- pas prendre la boule N° 2 ! C’est bon signe: l’énigme sera facile.

0 menteur

Situation très intéressante. Tout le monde dit la vérité, donc il ne faut pas prendre la boule 2. Mais nous ne savons pas pour autant quelle boule prendre ! Avec 0 menteur, nous voyons bien qu’il y a trois boules possibles -la 1, la 3 et la 4. Ce qui est en contradiction avec l’énoncé d’introduction : une seule boule conduit à la liberté. Donc, disposant de trop de solutions ce qui nous interdit de conclure, nous en déduisons qu’il n’y a pas de solution unique – comme stipulé dans l’énoncé. Comme on nous dit qu’il existe une solution unique, il n’y a pas 0 menteur.

1 menteur, 2 menteurs, 3 menteurs :

Aucun de ces cas n’est possible ! Comme ils disent tous la même chose… Ils ne peuvent que dire la vérité -ce qui n’est pas possible, comme on l’a vu- ou mentir, tous ensemble. Avec ce nombre de menteurs, il y a toujours une contradiction. Or, on doit rester cohérent. Quand je vous disais que l’énigme sera facile !

4  menteurs : bingo  !

Ils mentent tous. Donc il faut déplacer tout le monde sur la ligne , prendre la boule 2 et la déposer dans l’urne. Et voilà !

Un cas un peu plus complexe pour continuer

Encore des gardiens qui parlent de la même boule, mais cette fois ils ne sont pas d’accord.

Vert : « Le 3 conduit aux oubliettes »
Jaune : « Choisis le 3 ! »
Blanc : « Le 3 conduit aux oubliettes ! »
Orange : « Choisis le 3 ! »

Deux gardiens disent qu’il ne faut surtout pas prendre la boule 3. Deux autres, au contraire, prétendent qu’il faut bien la prendre.

Là, au moins, il est facile de trouver le nombre de menteurs ! Il ne peut y en avoir que 2, si on veut éviter les contradictions. De plus, les menteurs vont par paire : soit les menteurs sont Vert et Blanc, soit Jaune et Orange. Tout autre combinaison de deux menteurs conduit à une contradiction.

Menteurs Jaune et Orange

Si jaune et Orange sont les menteurs, nous savons qu’il ne faut pas choisir la boule 3. Très bien. Mais quelle boule choisir ? Nous ne pouvons pas le déterminer avec certitude. Nous nous retrouvons dans le cas précédent. Il n’y a pas de solution unique. Donc les menteurs ne peuvent pas être Jaune et Orange.

Menteurs Vert et Blanc : bingo !

Eh oui, les menteurs, les voilà ! Du coup nous savons qui il faut déplacer sur la ligne , et nous savons qu’il faut placer la boule 3 dans l’urne : c’est bien la seule et unique solution de l’énigme.

Un autre cas d’école

Voyons la situation suivante :

Rouge : « Ne choisis pas le 4 ! »
Bleu : « Choisis le 3 ! »
Noir : « Choisis le 2 ! »
Orange: « Choisis le 1 ! »

Ici, avec un peu d’habitude, on voit que la solution c’est 4 menteurs. En effet, pour ce nombre de menteurs, il n’y a qu’une seule solution possible – prendre la boule 4. C’est la solution unique demandée. C’est suffisant pour résoudre l’énigme, on n’a pas besoin de chercher plus loin.

Toutefois, voyons ce qu’il se passe avec les autres nombres de menteurs. Histoire de prouver que l’énigme est cohérente, et surtout pour découvrir quelques cas intéressants.

0 menteur

Pas possible : si tout le monde dit la vérité, il y a trois boules à choisir alors qu’il n’en faut qu’une.

1 menteur

Quel que soit le choix du menteur, il reste toujours plusieurs boules à choisir. Donc aucune solution n’est envisageable.

2 menteurs

Là ce qu’il se passe est intéressant.

Si les deux menteurs sont Noir et Orange, il faut choisir la boule 3. La réponse est cohérente et pourrait être une solution.
Si les deux menteurs sont Noir et Bleu, il faut choisir la boule 1. Là encore, la réponse est cohérente, mais elle est  une nouvelle solution pour 2 menteurs.
Si les deux menteurs sont Bleu et Orange, il faut choisir la boule 2. Encore une réponse cohérente, mais cette fois c’est une troisième solution pour 2 menteurs.

Nous avons trouvé trois solutions pour deux menteurs. Les autres réponses, impliquant Rouge comme un des deux menteurs, amènent toutes à des réponses avec plusieurs boules.

Nous pouvons donc exclure le cas de deux menteurs, car il pourrait y avoir plusieurs solutions – or nous savons qu’il faut une solution unique.

3 menteurs

Si les trois menteurs sont (Bleu, Noir, Orange) on ne peut plus choisir de boule. La réponse est donc rejetée.
Il faut donc toujours inclure Rouge parmi les menteurs. De ce fait, on obtient des réponses où il y a deux boules à choisir. Ce n’est pas possible car il faut une solution unique.

Jeu ou entraînement

Par défaut le logiciel propose de démarrer le jeu. Toutefois, on peut s’entraîner en choisissant soi-même le nombre de gardiens, dans l’entrée Jeu des paramètres.

Logique et lecture

On le voit, le joueur est actif devant son énoncé. Il doit transformer certaines propositions en leur contraire, selon le nombre de menteurs; ensuite, il doit vérifier la cohérence globale de sa réponse, et tester, dans les cas les plus difficiles, si elle est unique. La logique ici, permet d’offrir aux élèves un moyen pertinent et ludique de travailler un énoncé sans calcul. C’est une excellente préparation à la lecture des énoncés mathématiques et une très bonne formation à la rigueur et à la logique.